Chapitre 1

Géométrie plane et dans l'espace

Figures géométriques fondamentales

La géométrie plane étudie les figures à deux dimensions : points, droites, segments, angles, triangles, quadrilatères et cercles. Ces notions sont indispensables pour lire un plan de chantier ou calculer des surfaces.

Figure	Périmètre	Aire
Carré (côté a)	4a	a²
Rectangle (l × L)	2(l+L)	l × L
Triangle (base b, hauteur h)	a+b+c	(b × h) / 2
Cercle (rayon r)	2πr	πr²
Trapèze (bases a,b / hauteur h)	a+b+c+d	((a+b) × h) / 2
Losange (diagonales d₁, d₂)	4a	(d₁ × d₂) / 2

Géométrie dans l'espace

Les solides géométriques sont utilisés pour calculer des volumes de terrassement, de béton ou de stockage.

Solide	Volume	Surface totale
Cube (arête a)	a³	6a²
Parallélépipède (l × L × h)	l × L × h	2(lL + lh + Lh)
Cylindre (r, h)	πr²h	2πr(r+h)
Cône (r, h)	πr²h / 3	πr(r + √(r²+h²))
Sphère (r)	(4/3)πr³	4πr²
Pyramide (base S, hauteur h)	S × h / 3	S + périmètre × apothème / 2

Rappel π : π ≈ 3,14159. Pour des calculs rapides sur chantier : π ≈ 3,14.

Angles et théorème de Pythagore

Types d'angles : aigu (<90°), droit (=90°), obtus (90°–180°), plat (=180°). Sur un chantier, les angles droits sont vérifiés à l'équerre ou au théorème de Pythagore — méthode 3-4-5.

Théorème de Pythagore : a² + b² = c² Exemple : triangle 3m-4m → hypoténuse = √(9+16) = √25 = 5m Application chantier : poser 3m sur un côté, 4m sur l'autre → vérifier la diagonale = 5m

Chapitre 2

Trigonométrie appliquée au terrain

Fonctions trigonométriques

La trigonométrie permet de calculer des distances et des angles inaccessibles sur le terrain, notamment pour les levés et l'implantation.

Dans un triangle rectangle (angle α face à côté opposé opp, adjacent adj, hypoténuse hyp) : sin(α) = opp / hyp cos(α) = adj / hyp tan(α) = opp / adj Inverses : α = arcsin(opp/hyp) = arccos(adj/hyp) = arctan(opp/adj)

Tableau des valeurs remarquables

Angle	sin	cos	tan
0°	0	1	0
30°	0,500	0,866	0,577
45°	0,707	0,707	1,000
60°	0,866	0,500	1,732
90°	1	0	∞
120°	0,866	-0,500	-1,732
150°	0,500	-0,866	-0,577

Pentes et déclivités

Sur chantier, les pentes sont exprimées en %, en ‰ ou en degrés. Une pente de 5% = 5cm de dénivelé pour 100cm horizontal.

Pente (%) = (dénivelé / distance horizontale) × 100 Pente (°) = arctan(dénivelé / distance horizontale) Exemple : 3m de dénivelé sur 60m → pente = 3/60 × 100 = 5% → arctan(0,05) ≈ 2,86°

Limite engins : Pour les chariots élévateurs et engins de chantier, la pente maximale est généralement de 15 à 20%. Au-delà, risque de renversement.

Calcul d'une distance inaccessible

La formule des sinus permet de calculer une distance sans y accéder. Exemple : largeur d'une rivière.

Base AB = 50m. Angle en A = 72°, angle en B = 58°. Angle en C = 180° - 72° - 58° = 50° AC = AB × sin(58°) / sin(50°) = 50 × 0,848 / 0,766 ≈ 55,4m Distance de A à la rive = AC × sin(72°) ≈ 52,7m

Chapitre 3

Instruments topographiques

Présentation des instruments

Instrument	Usage	Précision
Niveau de chantier	Mesure de dénivelés (altimétrie)	±1 à 3mm/km
Théodolite	Mesure d'angles horizontaux et verticaux	±1 à 20cc
Tachéomètre (station totale)	Angles + distances (combiné)	±2mm + 2ppm
GPS/GNSS RTK	Coordonnées géographiques précises	±1cm
Distancemètre laser	Mesure de distances	±1 à 3mm
Mire (jalon)	Cible de lecture pour le niveau	Lecture au mm

Utilisation du niveau de chantier

Le niveau de chantier permet de déterminer les différences d'altitude entre points — méthode du nivellement géométrique.

Installer le trépied sur sol stable, centrer la bulle
Viser la mire placée sur le Repère de Nivellement (lecture arrière = LA)
Pivoter vers le point à mesurer, lire la mire (lecture avant = LV)
Dénivelé = LA – LV

Altitude B = Altitude A + (Lecture arrière – Lecture avant) Exemple : Altitude A = 10,50m, LA = 1,42m, LV = 0,87m Altitude B = 10,50 + (1,42 – 0,87) = 10,50 + 0,55 = 11,05m

Coordonnées et systèmes de référence au Togo

Le système officiel est le WGS 84 (GPS international). La projection standard est UTM Fuseau 31N.

Coordonnées Lomé : Latitude ≈ 6°08' N, Longitude ≈ 1°13' E. En UTM-31N : Easting ≈ 358 000m, Northing ≈ 679 000m.

Chapitre 4

Levés et plans topographiques

Types de levés

Type de levé	Méthode	Application
Levé de détail	Rayonnement (station totale)	Cadastre, plan de masse
Cheminement polygonal	Suite de visées entre stations	Chantiers linéaires (routes)
Nivellement de profil	Lectures de mire successives	Tracé routes, canaux
Levé GPS RTK	Réception satellite différentielle	Grandes surfaces, rapidité
Levé par drone	Photogrammétrie aérienne	Modèle 3D du terrain

Lecture des courbes de niveau

Courbes de niveau : lignes reliant les points de même altitude. L'équidistance est l'intervalle d'altitude entre deux courbes consécutives. Des courbes serrées = forte pente.

Courbes maîtresses : trait épais tous les 5 intervalles
Point côté : altitude précise indiquée sur la carte
Talweg : ligne de fond de vallée (écoulement des eaux)
Crête : ligne de partage des eaux (sommet)

Échelles des plans

Échelle	1mm sur plan =	Usage typique
1/50	5cm réel	Plan de détail intérieur
1/100	10cm réel	Plan de bâtiment
1/500	50cm réel	Plan cadastral
1/1000	1m réel	Plan de voirie
1/25000	25m réel	Carte topographique

Implantation d'un ouvrage

Reporter les coordonnées théoriques depuis le plan
Stationner la station totale sur un point connu
Calculer les angles et distances vers les points à implanter
Piquer et marquer les points implantés
Vérifier par contrôle (distance entre points)

Tolérance d'implantation : ±1cm en construction courante. ±1mm pour ouvrages de précision (rail, pont). Toujours vérifier par contrôle croisé.

Chapitre 5

Calculs de surfaces, volumes et cubatures

Calcul de surfaces irrégulières

Méthode des coordonnées (formule de Gauss)

Polygone à n sommets (x₁,y₁), (x₂,y₂)... (xₙ,yₙ) : Surface = |Σᵢ (xᵢ × yᵢ₊₁ - xᵢ₊₁ × yᵢ)| / 2 Exemple triangle A(0,0) B(6,0) C(3,4) : S = |(0×0-6×0) + (6×4-3×0) + (3×0-0×4)| / 2 = |24| / 2 = 12m²

Méthode des trapèzes (entre profils)

Surface ≈ (S₁ + S₂) / 2 × L S₁ et S₂ = surfaces des profils en travers, L = distance entre profils

Cubatures (volumes de terrassement)

Volume entre deux profils (prismatoïde) : V = (S₁ + S₂) / 2 × L (approché) V = (S₁ + 4Sm + S₂) / 6 × L (prismoïde exact — Sm = section médiane)

Type	Définition	Convention
Déblai	Terrain excavé (enlevé)	Positif (+)
Remblai	Terrain rapporté (ajouté)	Négatif (-)
Foisonnement	Augmentation volume à l'excavation	Coefficient > 1
Tassement	Réduction volume après compactage	Coefficient < 1

Coefficients de foisonnement :
Terre végétale : 1,15 à 1,25 | Argile : 1,20 à 1,35 | Sable : 1,05 à 1,15 | Roche : 1,30 à 1,65

Pente minimale assainissement : 3‰ minimum pour l'auto-curage des égouts et drains. En dessous, risque de dépôts et obstruction.